Решите, составив математическую модель, следующую задачу. Теплоход прошёл 4 км

Вопрос:

Решите, составив математическую модель, следующую задачу.

Теплоход прошёл 4 км против течения реки, а затем прошёл ещё 33 км по течению, затратив на весь путь один час. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки равна 6,5 км/ч.

Подробный ответ:

Обозначим за \(x\) скорость теплохода в км/ч. Тогда скорость теплохода против течения будет \(x - 6.5\) км/ч, а по течению \(x + 6.5\) км/ч.

Согласно условию задачи, общее затраченное время на путь равно 1 часу. Из этого получаем уравнение:

\[\frac{4}{x - 6.5} + \frac{33}{x + 6.5} = 1.\]

Для упрощения выражения умножим обе стороны на \((x - 6.5)(x + 6.5)\):

\[4(x + 6.5) + 33(x - 6.5) = (x - 6.5)(x + 6.5).\]

Раскроем скобки:

\[4x + 26 + 33x - 214.5 = x^2 - 6.5^2.\]

Упростим:

\[37x - 188.5 = x^2 - 42.25.\]

Приведем все к квадратному уравнению:

\[x^2 - 37x + 146.25 = 0.\]

Теперь используем формулу дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac = (-37)^2 - 4 \cdot 146.25 = 1369 - 585 = 784.\]

Теперь используем формулу для корней квадратного уравнения:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\]

\[x = \frac{37 \pm \sqrt{784}}{2}.\]

\[x = \frac{37 \pm 28}{2}.\]

В результате получаем два корня: \(x_1 = 32.5\) и \(x_2 = 4.5\).

\(4.5\) км/ч не подходит, так как эта скорость меньше скорости течения реки.

Ответ: собственная скорость теплохода равна \(32.5\) км/ч.